Вихревые нити в сверхтекучем гелии

Существуют объекты, поведение которых нельзя понять с точки зрения классической механики даже в макроскопических масштабах. Это прежде всего относится к жидкому гелию, точнее, к двум изотопам гелия — жидкому Не3 и жидкому Не4. Эти жидкости являются абсолютно незамерзающими — они остаются жидкими вплоть до температуры абсолютного нуля. Уже это — специфическое квантовое явление. Согласно классической механике при абсолютном нуле температур всякое движение атомов прекращается, и все тела должны быть твердыми. Не удивительно поэтому, что и законы движения этих жидкостей необъяснимы классически. В частности, жидкий Не4 при достаточно низких температурах является сверхтекучим — он способен без всякой вязкости, как идеальная жидкость, протекать через тонкие капилляры. Для нас особенно интересны свойства вращающегося сверхтекучего гелия. Оказывается, что во вращающемся гелии квантовые свойства проявляются наиболее непосредственным образом. Уравнения движения даже больших количеств жидкости в этом случае в явном виде содержат постоянную Планка. Поэтому даже механические эксперименты с вращающимся сверхтекучим гелием позволяют измерить эту квантовую постоянную. Чтобы понять особенности вращения сверхтекучей жидкости, рас- смотрим наполненный такой жидкостью вращающийся цилиндр. Если жидкость в цилиндре также вращается вокруг оси цилиндра, то атомы жидкости совершают вращательное движение. Но такое движение согласно квантовой механике квантуется. Чтобы выяснить, к чему это приведет, воспользуемся квазиклассическими правилами квантования Бора. Согласно этим правилам на орбите атома, длина которой равна 2πr, где r — расстояние от оси вращения, должно уложиться целое число длин волн де Бройля , где ν - скорость, а М — масса атома. Иными словами, при вращении жидкости должно выполняться соотношение (h/M)(1/r)n (1) где n — целое число. Формула (1) определяет распределение скорости во вращающейся сверхтекучей жидкости. Оно полностью отличается от распределения скорости в обычной жидкости. Последняя вращается как целое, и скорость в ней распределена по закону

                                           v= Ωr  ,       

где Ω — угловая скорость вращения. При приближении к оси скорость неограниченно возрастает. (Формула (1) имеет смысл только на расстояниях, больших по сравнению с атомными.) Линия в жидкости,вокруг которой жидкость вращается по закону (1), называется вихревой нитью. В нашем случае вихревая нить совпадает с осью цилиндра. Если, однако, жидкость совершает еще движения, кроме вращения вокруг оси, эта нить может искривиться и распределение скоростей усложнится. Вблизи нити, однако, оно по-прежнему будет определяться формулой (1), где под r следует понимать расстояние до нити. Вихревые нити в сверхтекучем гелии представляют собой единственные в своем роде макроскопические квантовые объекты. Действительно, с одной стороны, в основную формулу (1), определяющую все свойства нити, прямо входит постоянная Планка. С другой стороны, длина вихревой нити может быть очень большой; в разобранном примере она совпадает с длиной цилиндра. Вихревая нить обладает некоторой энергией, которая равна кинетической энергии движения жидкости вокруг нити. Реально в жидкости, образуются только нити с n = 1. Вычисляя кинетическую энергию, получается

где ρ — плотность жидкости, l — длина нити, R — радиус цилиндра, а — некоторое расстояние, порядка атомного, на котором теряет смысл формула (1); а приходится вводить в качестве нижнего предела интеграла по r в (2). Величина Ε мало зависит от точного значения а. Так как на образование вихревой нити нужна конечная энергия, то ясно, что она может образоваться только при некоторой конечной скорости вращения цилиндра. Можно показать, что такая ≪критическая≫ угловая скорость вращения равна

(3)

Если скорость вращения меньше, чем Ωкр, жидкость будет покоиться даже во вращающемся цилиндре. При Ω > Ωкр образуется вихревая нить в центре цилиндра, и картина вращения оказывается такой, как описано выше. Если Ω > Ωкр, то в цилиндре образуется много нитей. В результате в среднем движение жидкости оказывается близким к вращению как целого, хотя вблизи каждой нити скорость возрастает по закону (1). Если в качестве вращающегося цилиндра выбрать достаточно тонкий капилляр, то угловая скорость Ωкр оказывается вполне заметной. Если R измерять в сантиметрах, то

Момент появления вихревой нити в цилиндре можно заметить. Поэтому Ωкр представляет собой первый пример макроскопической механической величины, в определение которой прямо входит постоянная Планка. Опыты с вихревыми нитями, позволяющие определить постоянную Планка механическими измерениями, были произведены в 1960 г. английским физиком Вайненом. Идея опыта состоит в наблюдении колебаний струны, помещенной на оси наполненного сверхтекучим гелием цилиндра. Всякое колебание струны можно представить себе как сумму двух круговым образом поляризованных колебаний. Каждое из этих колебаний есть просто вращение изогнутой струны по или против часовой стрелки. Струна при этом изогнута по синусоиде с длиной волны, равной в простейшем случае основного тона удвоенной длине струны. Частоту вращения можно найти, приравнивая центробежную силу упругой силе, стремящейся вернуть струну в равновесие. Эта упругая сила равна

где r — отклонение струны от оси, k — характерная для струны постоянная, l- длина струны. В результате частота ω0 определяется формулой

Здесь χ — масса струны, отнесенная на единицу длины). Если струна находится в жидкости, в χ надо включить увлекаемую струной массу жидкости. Разумеется, в покоящейся жидкости частоты для случая движения струны против и по часовой стрелке в точности равны. (Колебание струны двукратно вырождено.)Если привести цилиндр во вращение, то при Ω> Ωкр жидкость начнет вращаться вокруг струны по закону (1). Иными словами, в цилиндре образуется вихревая нить, ось которой совпадает со струной. При колебаниях струны нить будет колебаться вместе с ней. Но если струна совпадает с вихревой нитью, то при движении на нее будет действовать дополнительная сила. Эта сила имеет ту же природу, что и подъемная сила крыла самолета, и ее можно вычислить по формуле Жуковского:

где n- единичный вектор, совпадающий по направлению с угловой скоростью вращения, Г = 2πrv =2πħ/Μ - циркуляция скорости вокруг струны, и - скорость движения струны. По величине эта сила равна

и направлена перпендикулярно струне и направлению ее движения. Для колебания, в котором направление вращения струны совпадает с вращением жидкости, эта сила направлена к оси цилиндра, а для другого колебания - от оси. В первом случае эту силу надо добавить к упругой силе в уравнение, определяющее частоту. Учитывая, что и = ωr, имеем

Положим . Если, как это фактически имеет место, Δω <<ω0» из (6) приближенно следует

Частота другого из независимых колебаний уменьшается на ту же величину, так что между двумя колебаниями возникает разность частот, равная Δω. Видно, что кроме постоянной Планка, входят лишь параметры, характеризующие жидкость и струну, которые можно измерить заранее. Эксперимент состоял в измерении разности частот Δω. Схема опыта приведена на рис. 1.

                                           Рис.1

Струна W представляла собой проволочку из бериллиевой бронзы длиной 5см и диаметром 2,54・ 10-3 см.Проволочка была помещена в заполненный гелием цилиндр С с внутренним диаметром 4 мм. Установка могла вращаться с угловой скоростью от 0,1 до 2 об/мин. Собственная частота колебаний проволочки была равна примерно ω0 ~500 сек-1. Опыт производился, при температуре 1,3° К. Установка помещалась между полюсами магнита, так что проволочка находилась в магнитном поле с напряженностью 3・103 гс. При пропускании через проволочку тока она отклонялась в магнитном поле. Это позволяло, пропустив начальный импульс тока, заставить струну колебаться. С другой стороны, при колебании струны в магнитном поле на ее концах возникает разность потенциалов, пропорциональная скорости движения струны. Поэтому, наблюдая эту разность потенциалов, можно изучать колебания. Если вихревая нить отсутствует и частоты обоих колебаний совпадают, амплитуда колебаний после начального импульса монотонно убывает вследствие затухания. Если же частоты отличаются, то сложение колебаний приводит к биениям между ними, так что на монотонное убывание амплитуды налагается периодическое изменение с частотой Δω. В условиях эксперимента расщепление частоты составляло около 0,45 сек-1. На рис. 2 приведен характерный образец записи колебаний струны.

                                                Рис.2

Мы видим, что амплитуда колебаний сначала уменьшается, а потом возрастает, т. е. биения на самом деле наблюдаются. Эксперименты в действительности ставились не для измерения постоянной ħ -она гораздо точнее известна из обычных ≪атомных≫ экспериментов, а для проверки теоретических представлений о вихревых нитях. Результаты оказались в хорошем согласии с предсказаниями, что доказывает принципиальную возможность чисто механического определения постоянной Планка. Электромагнитные устройства в установке имели только вспомогательное значение. В предыдущем изложении мы не останавливались на некоторых побочных явлениях, мешавших эксперименту. Прежде всего, вихревая нить во многих случаях не полностью совпадала со струной на всем ее протяжении. Это приводило к тому, что частота биений в этих случаях не совпадала с вычисленной по формуле (7). Кроме того, оказалось, что некоторые биения существовали и при отсутствии вихревой нити, в не вращающейся установке. Объяснение этих биений состоит в том, что проволочка была не вполне симметрична и однородна механически. Возможно, например, что отдельные ее участки были скручены. Указанные ≪паразитные≫ биения необходимо было учитывать при обработке экспериментальных данных. В экспериментах Вайнена речь идет о прямолинейных вихревых нитях, параллельных оси вращения цилиндра. Вихревые нити, как уже говорилось, могут быть и изогнутыми. В частности, могут существовать и замкнутые нити — вихревые кольца. Образование таких колец во вращающемся цилиндре энергетически невыгодно. Они однако появляются при течении гелия по капиллярам или при движении частиц в гелии. В частности, Рейфилд и Реиф изучали такие вихревые кольца, образующиеся около движущегося в гелии иона. В этих опытах гелий облучался радиоактивным источником, и образовавшиеся ионы ускорялись электрическим полем. Оказалось, что при достаточно низких температурах (ниже 0,6° К) практически вся энергия, получаемая ионом от поля, уходит на образование вихревого кольца, которое движется далее вместе с ионом. Энергия кольца дается формулой (2), в которой следует заменить l на длину окружности кольца 2лb (b — радиус кольца), а вместо R подставить b. Из этой формулы видно, что, зная энергию, т. е. ту разность потенциалов, которую прошел ион, мы можем вычислить радиус кольца b. С другой стороны, радиус кольца определяет и скорость его движения по формуле

Поскольку скорость движения кольца, связанного с ионом, также можно измерить непосредственно, все величины в этом соотношении оказываются известными. Поэтому его можно также использовать для экспериментального определения ħ. Даже учитывая неопределенность величины а под логарифмом, можно получить ħ с точностью порядка 30%, что является неплохим результатом для такого необычного метода. Максимальный размер вихревых колец в этих опытах достигал b ~ 10-4 см. Таким образом, кольца были вполне макроскопическими - их радиус во много раз превышал межатомные расстояния в жидком гелии, которые имеют порядок 4・10-8 см. (Именно эту величину следует выбрать в качестве а в формулах (2) и (3).)