Вихревая нить

Для изучения движений однородной, лишенной трения жидкости с вращением частиц воспользуемся опять теоремой Томсона о постоянстве циркуляции по замкнутому жидкому контуру. Из этой теоремы и из геометрических свойств ротации скорости (называемой также вихревым вектором) можно вывести известные теоремы Гельмгольца о вихревых движениях. Эти теоремы, касающиеся весьма важных геометрических и механических соотношений, имеющих место при движении жидкости с вращением частиц, были выведены самим Гельмгольцем несколько иным путем, а именно — на основе электродинамических представлений1.

Однако следствия, вытекающие из этих теорем, получаются простыми только в том случае, когда частицы жидкости, находящиеся во вращении, занимают область в виде нити, и вне этой области движение происходит без вращения частиц. В таком случае говорят о вихревых нитях. Важнейшие теоремы о вихревых нитях можно вывести из свойств окружающего их потенциального течения, не углубляясь при этом в детали движения жидкости с вращением частиц. Таким образом, мы должны вернуться к потенциальному движению с циркуляцией, о котором мы говорили.

Напомним, что область, в которой происходит такое потенциальное движение, является многосвязной и что циркуляция по всем кривым, которые можно перевести друг в друга, не пересекая границ области, одинаковая. Отсюда, как мы сейчас увидим, следует, во-первых, что вихревая нить должна либо иметь форму кольца, т. е. быть замкнутой, либо доходить своими концами до границ жидкости, и, во-вторых, что циркуляция вокруг вихревой нити в один и тот же момент времени во всех местах должна быть одинаковой. В самом деле, проведем в потоке замкнутую линию, состоящую из двух петель А и В вокруг вихревой нити и двух отрезков АВ и В А. Эту линию можно путем непрерывной деформации стянуть в точку, не пересекая вихревой нити. Следовательно, циркуляция вдоль этой линии равна нулю.

Но эта циркуляция складывается из четырех частей, две из которых получаются при интегрировании вдоль отрезков АВ и В А, а две другие — при интегрировании вдоль петель А и В. Циркуляции вдоль примыкающих друг к другу отрезков АВ и В А взаимно уничтожаются, так как эти отрезки при интегрировании обходятся в противоположных направлениях. Следовательно, должны взаимно уничтожаться и циркуляции вдоль петель А и В, так как иначе полная циркуляция по всей жидкой линии не была бы равна нулю. Это означает, что циркуляции вдоль петель А и В равны по абсолютной величине, но противоположны по знаку. Но проведенная замкнутая линия огибает вихревую нить около А и около В в противоположных направлениях, поэтому циркуляция около А и В, взятая в одном и том же направлении, должна быть одинаковая. Если бы вихревая нить оканчивалась где-либо внутри жидкости, то мы могли бы одну из петель снять с вихревой нити, в то время как вторая продолжала бы оставаться на вихревой нити.