Ряды Фурье
1. Ряды Фурье
В курсе математического анализа вводится понятие функционального ряда [1] и его важный частный случай - степенной ряд[2]. Рассмотрим другой очень важный частный случай функциональных рядов тригонометрический ряд.
Рассмотрим можно ли функцию представить в виде тригонометрического ряда, т.е. можно ли найти коэффициенты. Сумма ряда, очевидно, периодическая функция. Значит, разлагать в тригонометрический ряд можно только периодические функции f. Кроме того ясно, что если две периоди-ческие функции совпадают на промежутке, длина которого равна периоду, то они совпадают всюду. Поэтому равенство нам достаточно проверить на некотором промежутке длины. Предположим, что равенство имеет место для всех , а функция и коэффициенты , таковы, что все совершаемые действия законны. Найдем формулы для вычисления . Чтобы найти , проинтегрируем равенство почленно. Поэтому все члены под знаком суммы будут нулями и мы получим Для того чтобы найти при m>0, умножим обе части равенства на и проинтегрируем почленно.
Первый член справа исчезнет ввиду, таким образом, обращаются в нуль все интегралы под знаком суммы, кроме того, при котором множителем стоит именно коэффициент . Аналогично, умножая разложение на и затем интегрируя почленно, получим формулу для коэффициента при синусе Формулы часто называют формулами Эйлера - Фурье; вычисленные по этим формулам коэффициенты называются коэффициентами Фурье функции f, а составленный с их помощью ряд - рядом Фурье функции f. Обратим внимание, что постоянная пишется в таком виде, чтобы придать единообразие формулам. Разложение функции в ряд Фурье можно представить в виде: Преобразование Фурье используется во многих областях науки – в физике, теории чисел, комбинаторике, обработке сигналов, теории вероятностей, статистике, криптографии, акустике, океанологии, оптике, геометрии, и многих других. В обработке сигналов и связанных областях преобразование Фурье обычно рассматривается как декомпозиция сигнала на частоты и амплитуды. Богатые возможности применения основываются на нескольких полезных свойствах преобразования: Преобразования являются линейными операторами и, с соответствующей нормализацией, также являются унитарными. Преобразования обратимы, причём обратное преобразование имеет практически такую же форму, как и прямое преобразование. Синусоидальные базисные функции (вернее, комплексные экспоненты) являются собственными функциями дифференцирования, что означает, что данное представление превращает линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами в обычные алгебраические. По теореме о свёртке, преобразование Фурье превращает сложную операцию свёртки в простое умножение, что означает, что они обеспечивают эффективный способ вычисления основанных на свёртке операций, таких как умножение многочленов и умножение больших чисел.
Используемые источники
- ↑ Зорич В.А. Математический анализ. Т.1. М.: Наука, 1981.
- ↑ Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функцио-нального анализа. Изд. 6-е, испр. М.: Наука, 1989.
