Границы применения распределения Максвелла

Задача о распределении молекул по скоростям, а также методы решения ее являются чисто классическими. Поэтому необходимо, прежде всего, выяснить границы применимости такого классического рассмотрения. Воспользуемся принципом неопределенности Гайзенберга. Выделим в газе маленький кубик со сторонами x, y, z, на который в среднем приходится одна частица. Чтобы неопределенности в координате и импульсе не играли роли и применялась бы классическая, а не квантовая механика, должны выполняться соотношения: (1)

где h - постоянная Планка. Перемножив эти неравенства, можно заменить их одним:(2)

Где V=xyz – объем кубика, P – некоторый средний импульс, характеризующий движение частиц газа. Если n – число частиц в единице объема, то Vn=1

V - объем, приходящийся на частицу - это полный (единичный) объем, поделенный на количество частиц.

Предыдущее соотношение принимает вид:(3)

Введем длину волны де-Бройля:(4)

Условие применимости классического рассмотрения примет следующий вид (5) много меньше единицы

Это означает, что среднее число частиц газа в объеме должно быть мало по сравнению с единицей. Для оценки порядка величины используя среднюю квадратичную скорость , характеризующую тепловое движение молекул газа, придадим условию вид:(6)

где введено обозначение (7)

называется температурой вырождения газа. Таким образом, классический способ рассмотрения применим при температурах, значительно превышающих температуру вырождения. При более строгом рассмотрении за температуру вырождения принимают величину (8)

Она примерно втрое меньше предыдущего выражения. Газы с температурой ниже температуры вырождения называются вырожденными. К ним классический способ не применим. Основываясь на примере подсчета температуры вырождения для электронного газа в серебре и для гелия, можно сделать вывод, что электронный газ в хорошо проводящих металлах всегда полностью вырожден, а все молекулярные газы достаточно далеки от вырождения, и их следует рассматривать как классические системы.