Вейвлет преобразование
3. Вейвлет преобразование
Рассмотрим пространство L2(R) функций , определенных на всей действительной оси и обладающих конечной энергией (нормой) Функциональные пространства L2 и L2(R) существенно различны. В частности, локальное среднее значение каждой функции из L2(R) должно стремиться к нулю на . Синусоидальная волна не принадлежит L2(R), и, следовательно, семейство синусоидальных волн wn не может быть базисом функционального пространства L2(R). Попробуем найти достаточно простые функции для конструирования базиса пространства L2(R). "Волны", образующие пространство L2(R), должны стремиться к нулю на и для практических целей чем быстрее, тем лучше. Рассмотрим в ка-честве базисных функций вейвлеты — хорошо локализованные солитоноподобные "маленькие волны". Как и в случае с пространством L2 , которое полностью форми-ровалось с помощью одной базисной функции w(t), сконструируем функцио-нальное пространство L2(R) также с помощью одного вейвлета . Отметим, что это может быть вейвлет с одной частотой или с набором частот. Начнем с дискретных преобразований. Как же с помощью быстро стремящейся к нулю локализованной функции покрыть всю ось ? Наиболее просто это можно сделать, преду-смотрев систему сдвигов (переносов) вдоль оси. Пусть для простоты они будут целыми. Введем аналог синусоидальной частоты. Для простоты и определенности запишем ее через степени двойки, здесь j и k — целые числа. Таким образом, с помощью дискретных масштабных преобразований и сдвигов мы можем описать все частоты и покрыть всю ось, имея единственный базисный вейвлет . Вейвлет называется ортогональным, если определенное семейство представляет собой ортонормированный базис функционального пространства L2(R). И каждая функция может быть представлена в виде ряда.
Простейшим примером ортогонального вейвлета является HAAR-вейвлет, названный так по имени предложившего его Хаара, и определяемый соотношением. Итак, каждая функция из L2(R) может быть получена суперпозицией масштабных преобразований и сдвигов базисного вейвлета, т.е. является композицией "вейвлетных волн" (с коэффициентами, зависящими от номера волны (частоты, масштаба) и от параметра сдвига (времени)).
